Plan complexe - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé  \((\text O;\vec{u},\vec{v})\) , on considère le point \(\text A\) d'affixe  \(3-3i\) . Déterminer une mesure en radians de l'angle  \((\vec{u};\overrightarrow{\text O\text A})\) .

Solution

Appelons  \(z_\text A\)  l'affixe de \(\text A\) .
\(\begin{align*}(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text A}) \equiv \arg(z_\text A) \ [2\pi].\end{align*}\text {On a :} \lvert z_\text A \lvert= \sqrt{3^2+(-3)^2}= \sqrt{9+9}= \sqrt{18}= 3\sqrt{2}\)

Soit  \(\theta\)  un argument de  \(z_\text A\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos\theta=\dfrac{3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos\dfrac{-\pi}{4}\\\sin\theta=\dfrac{-3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\sin\dfrac{-\pi}{4}\end{array} \right.\)
Donc  \(\theta \equiv \dfrac{-\pi}{4} \ [2\pi]\) .
Ainsi  \((\vec{u};\overrightarrow{\text O\text A}) \equiv \dfrac{-\pi}{4} \ [2\pi]\)